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の積分の上限が ∞ なので、もっと小さい値ではどうなるのかなと思って数値を調べていたのが発端だったと思う。ちなみに、この関係式から容易に以下のよく知られた値を知ることが出来る。
当時は、なかなか面白い式が得られたなと思って満足していただけで、それ以上の進展はなかった。でも大好きなゼータ関数も出てくるし、ζ(3)の値も気になるし、もうちょっと掘り下げてみることにした。
上記は、ゼロから自然対数のlog2という具体的な範囲での値なので、これを少しだけ一般化して、ゼロからaまでの定積分[0, a]がどうなるかちょっと頭を使ってみた。で、得たのが以下の式。ｘの次数も一般化してある。
思ったより規則性のある式に。
nが1～4までの値を見比べて導出したので多分あってると思うけれど、定義域とかはよう分からん。ちなみに、右辺に多重対数関数
(ポリロガリズム polylogarithm)が出てくる。ゼータ関数と戯れているとよく絡んでくる関数(というか上位版)で、以下のような定義になっている。
合っているのかどうか、ちょっと検算をしてみよう。こういう場合に、それなりの精度で定積分計算や和計算が出来るフリーの関数グラフソフトGRAPES が活躍する。
となり、ほぼ一致している。複素数の範囲で、a=πi(パイ×i)のとき、どうなるか見てみるのも面白そうだ。
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