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Fri 11 Dec ’09

ゼータ関数や多重対数関数を含んだ定積分式

カテゴリー » 数学

　もう10年以上前になると思うけれど、以下のようなゼータ関数が絡んだ積分の具体的な表示式を得ていて、薄っぺらな数学ノートに記しておいた。フランスに来る際に、頭の体操用にと、そのノートを持ってきている。近頃、トイレで用を足す際は(大)、そのノートをめくっては思い出に浸っている。
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　どうやって、この値を得たかというと、ガンマ関数とリーマンゼータ関数とのよく知られた関係式
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の積分の上限が ∞ なので、もっと小さい値ではどうなるのかなと思って数値を調べていたのが発端だったと思う。ちなみに、この関係式から容易に以下のよく知られた値を知ることが出来る。

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　当時は、なかなか面白い式が得られたなと思って満足していただけで、それ以上の進展はなかった。でも大好きなゼータ関数も出てくるし、ζ(3)の値も気になるし、もうちょっと掘り下げてみることにした。

　上記は、ゼロから自然対数のlog2という具体的な範囲での値なので、これを少しだけ一般化して、ゼロからaまでの定積分[0, a]がどうなるかちょっと頭を使ってみた。で、得たのが以下の式。ｘの次数も一般化してある。

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思ったより規則性のある式に。

nが1～4までの値を見比べて導出したので多分あってると思うけれど、定義域とかはよう分からん。ちなみに、右辺に多重対数関数Link (ポリロガリズム polylogarithm)が出てくる。ゼータ関数と戯れているとよく絡んでくる関数(というか上位版)で、以下のような定義になっている。

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　合っているのかどうか、ちょっと検算をしてみよう。こういう場合に、それなりの精度で定積分計算や和計算が出来るフリーの関数グラフソフトGRAPESLink が活躍する。

　n=2のとき、得られた等式は以下のようになり、ζ(3)が出てくる。
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　a=-1/2のときの具体的な値をGRAPESで計算してみよう。左辺は、
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となり、一方、右辺は
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となり、ほぼ一致している。複素数の範囲で、a=πi(パイ×i)のとき、どうなるか見てみるのも面白そうだ。

   

― by まーちん @ 05:07 pm commentComment [0] pingTrackBack [0]

Sat 09 May ’09

とある無限級数について

カテゴリー » 数学

　ゼータ関数絡みで、次のような関数を考えてみる。

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もし、aに対してこれの一般的な形式が求められれば、これを微分したりして、奇数ゼータ関数の一般型が求められるかなと思うけど、そう甘くないかもしれない(いや、間違いなく甘くない)。この手の計算を系統的にしているわけではないので、ここはゲリラ的に、簡単に「手計算」をしてみよう。手計算といっても、無限級数を相手に計算するわけで、普通の電卓では埒があかないので、フリーの関数計算ソフトGrapesLink を使うことにする。とりあえず、nが0から5百万までの値を書いてみる。あ、aの定義域をとりあえず0 < a < 1としておくか。複素数でも成り立つかどうかは知らない。

f(1/2) = 0
f(1/3) = 0.693147280559929...
f(1/4) = 1.24645058028045...
f(1/5) = 1.76916963296994...
f(1/6) = 2.28103808890283...
という感じだ。f(1/3)の値は0.693147..。これはどこかで見覚えのある数だ。そう自然対数ln2の値じゃないか。ln2の値は0.693147180559945...とまぁ悪くない。f(1/4)の値は1.246450...。これは、f(1/2)の値を考慮すると、
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になる？　この値を、Grapesで計算すると、1.24645048028046...と悪くないね。

　今日はちょっと飲み会があって、ワインやらジンやらを飲んでちょっと眠い。この辺で。

 

― by まーちん @ 01:15 am commentComment [0] pingTrackBack [0]

Fri 18 Jun ’04

ゼータ関数の式とか，例えばζ(3)

カテゴリー » 数学

　ゼータ関数関連で大学生の頃に導いた式とかあるので，このブログでも紹介するとしよう。尚，証明なしに載せているので間違いなどあればお知らせ下さい。

■ζ(3)に関連して その１

zeta3-1

なつかしいなぁ。これは2001年頃に導きました。他のサイトで同等の表示を見つけたのが2001年でこれ自体は1998年ごろですね。

■ζ(3)に関連して その２

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合ってるかな？

■ζ(3)に関連して その３

zeta3-3

log(sinx)というのが奇数ゼータのポイントかなぁ。

　それなりにインパクトのありそうなやつを挙げてみた。

 

― by まーちん @ 08:08 pm commentComment [0] pingTrackBack [0]

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