martin's weblog

　気分転換に数と戯れよう。

　以前のエントリー でゴールドバッハの予想を確率論で考察しました。ゴールドバッハの予想は、

6以上の任意の偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる

というシンプルな予想なのですが、これは未だに証明されていない難問です。以前と同じように、ある偶数2nに対して、2つの奇素数の和で表すことの出来る素数のペアの個数をG(2n)で表すことにします。ここでは素数のペアの順も考慮することにします。例えば、10は10=3+7=5+5=7+3と３通りの表現があるので、G(10)=3となります。数式で書けば以下のような感じです。 　ゴールドバッハの予想を証明することは、G(2n) > 0 がすべてのn(>=6)に対して成り立つことを示すのと同値です。以前、これの漸近的な評価を、 と予想しました。G(2n)も素数計数関数π(2n)も、数表でかなり大きな数まで計算されているので、ある程度精度を評価できます。以前のエントリー時は、G(2n)の数は、2n=10^12までしか求まっていませんでしたが、昨年の11月にG(10^13)が計算された ようです。なので評価してみましょう。π(10^13)も、同じサイト から入手できます。

うむ、まだ1には程遠いなぁ。

　ちなみに、G(2n)というのは、(素数, 素数) となる数の組み合わせですが、和が2nになる奇数の組み合わせは、(合成数, 合成数)、(合成数, 素数)、(素数, 合成数)、(素数, 素数) の４つでこのうち、(合成数, 素数)と(素数, 合成数)は同じです。なので、(合成数, 合成数)の個数をQ(2n)、(合成数, 素数)の個数をPQ(2n)とすれば、以下の式が成立します。

n = G(2n) + QQ(2n) + 2PQ(2n)

この式を変形して、

G(2n) = QQ(2n) + 2π(2n) - n -2

　もし2nにおいてゴールドバッハの予想が不成立なら、G(2n) = 0 より、

n + 2 = QQ(2n) + 2π(2n)

　素数定理を考慮すると、これは明らかに矛盾なんですよねぇ。なので、確率的には、ゴールドバッハの予想は成立するだろうと言えますが、確率論では証明になりません。

ゴールドバッハの予想   Goldbach  

　もう10年以上前になると思うけれど、以下のようなゼータ関数が絡んだ積分の具体的な表示式を得ていて、薄っぺらな数学ノートに記しておいた。フランスに来る際に、頭の体操用にと、そのノートを持ってきている。近頃、トイレで用を足す際は(大)、そのノートをめくっては思い出に浸っている。 　どうやって、この値を得たかというと、ガンマ関数とリーマンゼータ関数とのよく知られた関係式

の積分の上限が ∞ なので、もっと小さい値ではどうなるのかなと思って数値を調べていたのが発端だったと思う。ちなみに、この関係式から容易に以下のよく知られた値を知ることが出来る。

　当時は、なかなか面白い式が得られたなと思って満足していただけで、それ以上の進展はなかった。でも大好きなゼータ関数も出てくるし、ζ(3)の値も気になるし、もうちょっと掘り下げてみることにした。

　上記は、ゼロから自然対数のlog2という具体的な範囲での値なので、これを少しだけ一般化して、ゼロからaまでの定積分[0, a]がどうなるかちょっと頭を使ってみた。で、得たのが以下の式。ｘの次数も一般化してある。

nが1～4までの値を見比べて導出したので多分あってると思うけれど、定義域とかはよう分からん。ちなみに、右辺に多重対数関数 (ポリロガリズム polylogarithm)が出てくる。ゼータ関数と戯れているとよく絡んでくる関数(というか上位版)で、以下のような定義になっている。

　合っているのかどうか、ちょっと検算をしてみよう。こういう場合に、それなりの精度で定積分計算や和計算が出来るフリーの関数グラフソフトGRAPES が活躍する。

　n=2のとき、得られた等式は以下のようになり、ζ(3)が出てくる。 　a=-1/2のときの具体的な値をGRAPESで計算してみよう。左辺は、 となり、一方、右辺は

となり、ほぼ一致している。複素数の範囲で、a=πi(パイ×i)のとき、どうなるか見てみるのも面白そうだ。

無限級数   ゼータ関数  

　ゼータ関数絡みで、次のような関数を考えてみる。

もし、aに対してこれの一般的な形式が求められれば、これを微分したりして、奇数ゼータ関数の一般型が求められるかなと思うけど、そう甘くないかもしれない(いや、間違いなく甘くない)。この手の計算を系統的にしているわけではないので、ここはゲリラ的に、簡単に「手計算」をしてみよう。手計算といっても、無限級数を相手に計算するわけで、普通の電卓では埒があかないので、フリーの関数計算ソフトGrapes を使うことにする。とりあえず、nが0から5百万までの値を書いてみる。あ、aの定義域をとりあえず0 < a < 1としておくか。複素数でも成り立つかどうかは知らない。

f(1/2) = 0
f(1/3) = 0.693147280559929...
f(1/4) = 1.24645058028045...
f(1/5) = 1.76916963296994...
f(1/6) = 2.28103808890283...

という感じだ。f(1/3)の値は0.693147..。これはどこかで見覚えのある数だ。そう自然対数ln2の値じゃないか。ln2の値は0.693147180559945...とまぁ悪くない。f(1/4)の値は1.246450...。これは、f(1/2)の値を考慮すると、

になる？　この値を、Grapesで計算すると、1.24645048028046...と悪くないね。

　今日はちょっと飲み会があって、ワインやらジンやらを飲んでちょっと眠い。この辺で。

ゼータ関数  

　たまには、数学ネタでも。気分転換に、パズル感覚でゴールドバッハの予想を考えている。以前にも書いたけれど、どんなものか、もう一度書いておく。

6以上の任意の偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる

というものであった。これは、肯定的に正しいであろうと予想されているけれど、未だ証明はされていない。ゴールドバッハ(Goldbach)が1742年頃に予想して、未解決の問題として残っている。

　詳しいことは省略するが、２つの奇数のペアを考えることで、以下の漸化式が導ける。

　ゴールドバッハの予想が成り立たないと仮定すると、A(2n) + 2B(2n) + C(2n) = 0となるが、これだと矛盾を生じるので背理法によりゴールドバッハの予想は正しい、といった流れに持って行けると良いな。

　上に挙げた漸化式に出てくる変数群には、素数計数関数であるπ(2n)とそれの双子素数版であるπ2(2n)とが絡んだ関係式もあるので、それらをごにょごにょすれば良いかもしれん。

ゴールドバッハの予想  

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　以前から、数学ノートを作っていて、得られた積分和や無限級数の収束和をメモしたりしてます。そのノートを眺めていてln2に収束する級数がいくつかあることに気が付きました。それとは別に、オイラーの定数 であるγ（＝0.5772156649･･･）が絡んだ式も導いていました。以下の式は、そのひとつです。

　この式の中に出てくるオイラー定数 γ は、有理数なのか無理数なのか分かっていない数で、5-6年前、これが ln2 - □という形ではと思って、色々計算してたときの副産物で、以下の等式を得ました。

　これは、ここで終わっていたんですが、先日、ノートを何気に眺めていて、ちょっと手計算、以下の式も成り立ちそうです。

　これから、帰納的に以下の等式が推測できます。

　いくつか計算してみたところ成り立つようです。これから次式を導くことが出来ます。

　ほとんど直感だけが頼りなので、厳密な証明はしませんが、計算上成り立っているんじゃないかなぁ。

無限級数  

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