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ゼータ関数絡みで、次のような関数を考えてみる。
もし、aに対してこれの一般的な形式が求められれば、これを微分したりして、奇数ゼータ関数の一般型が求められるかなと思うけど、そう甘くないかもしれない(いや、間違いなく甘くない)。この手の計算を系統的にしているわけではないので、ここはゲリラ的に、簡単に「手計算」をしてみよう。手計算といっても、無限級数を相手に計算するわけで、普通の電卓では埒があかないので、フリーの関数計算ソフトGrapes
を使うことにする。とりあえず、nが0から5百万までの値を書いてみる。あ、aの定義域をとりあえず0 < a < 1としておくか。複素数でも成り立つかどうかは知らない。
f(1/2) = 0 f(1/3) = 0.693147280559929... f(1/4) = 1.24645058028045... f(1/5) = 1.76916963296994... f(1/6) = 2.28103808890283...という感じだ。f(1/3)の値は0.693147..。これはどこかで見覚えのある数だ。そう自然対数ln2の値じゃないか。ln2の値は0.693147180559945...とまぁ悪くない。f(1/4)の値は1.246450...。これは、f(1/2)の値を考慮すると、
になる？ この値を、Grapesで計算すると、1.24645048028046...と悪くないね。
今日はちょっと飲み会があって、ワインやらジンやらを飲んでちょっと眠い。この辺で。
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